问题描述
我们称序列
Z = < z1, z2, ..., zk >是序列
X = < x1, x2, ..., xm >的子序列当且仅当存在严格上
升的序列< i1, i2, ..., ik >,使得对
j = 1, 2, ... ,k, 有
xij = zj。比如
Z = < a, b, f, c >是
X = < a, b,
c, f, b, c >的子序列。
现在给出两个序列
X和
Y,你的任务是找到
X和
Y的最大公共子序列,也就是说要找
到一个最长的序列
Z,使得
Z既是
X的子序列也是
Y的子序列。
输入数据
输入包括多组测试数据。每组数据包括一行,给出两个长度不超过
200的字符串,表示
两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。
输出要求
对每组输入数据,输出一行,给出两个序列的最大公共子序列的长度。
输入样例
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
输出样例
4
2
0
解题思路
如果我们用字符数组
s1、s2存放两个字符串,用
s1[i]表示
s1中的第
i个字符,
s2[j]表
示
s2中的第
j个字符(字符编号从
1开始,不存在“第
0个字符”),用
s1i表示
s1的前
i
个字符所构成的子串, s2j表示
s2的前
j个字符构成的子串,
MaxLen(i, j)表示
s1i和
s2j的
最长公共子序列的长度,那么递推关系如下:
if( i ==0 || j == 0 ) {
MaxLen(i, j) = 0 //两个空串的最长公共子序列长度当然是0
}
else if( s1[i] == s2[j] )
MaxLen(i, j) = MaxLen(i-1, j-1 ) + 1;
else {
MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j));
}
MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j)) 这个递推关系需要证明一下。我们用
反证法来证明,MaxLen(i, j)不可能比
MaxLen(i, j-1)和
MaxLen(i-1, j)都大。先假设
MaxLen(i,
j)比
MaxLen(i-1, j)大。如果是这样的话,那么一定是
s1[i]起作用了,即
s1[i]是
s1i和
s2j的
最长公共子序列里的最后一个字符。同样,如果
MaxLen(i, j)比
MaxLen(i, j-1)大,也能够推
导出,s2[j]是
s1i和
s2j的最长公共子序列里的最后一个字符。即,如果
MaxLen(i, j)比
MaxLen(i, j-1)和
MaxLen(i-1, j)都大,那么,
s1[i]应该和
s2[j]相等。但这是和应用本递推关系
的前提----- s1[i]≠s2[j]相矛盾的。因此,
MaxLen(i, j)不可能比
MaxLen(i, j-1)和
MaxLen(i-1, j)
都大。MaxLen(i, j)当然不会比
MaxLen(i, j-1)和
MaxLen(i-1, j)中的任何一个小,因此,
MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j)) 必然成立。
显然本题目的“状态”就是
s1中的位置
i和
s2中的位置
j。“值”就是
MaxLen(i, j)。状
态的数目是
s1长度和
s2长度的乘积。可以用一个二维数组来存储各个状态下的“值”。本
问题的两个子问题,和原问题形式完全一致的,只不过规模小了一点。
参考程序:
常见问题
求解最长公共子序列时,当比较到两个字符串的两个字母不同时,应该分别将两个字
符串向后移动一个字符,比较这两种情况中哪个得到的公共子序列最长。有些同学只将其中
的一个字符串向后移动,或者两个同时移动,都是不对的。
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